Aljabar Linear Contoh

$x - 5 y + z = 30$ , $5 x - y - z = 18$

Langkah 1

Tulis sistem persamaan tersebut dalam bentuk matriks.

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & 1 & 30 \\ 5 & - 1 & - 1 & 18 \end{array}]$

Langkah 2

Tentukan bentuk eselon baris yang dikurangi.

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.1.1

Perform the row operation $R_{2} = R_{2} - 5 R_{1}$ to make the entry at $2, 1$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & 1 & 30 \\ 5 - 5 \cdot 1 & - 1 - 5 \cdot - 5 & - 1 - 5 \cdot 1 & 18 - 5 \cdot 30 \end{array}]$

Langkah 2.1.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & 1 & 30 \\ 0 & 24 & - 6 & - 132 \end{array}]$

Langkah 2.2

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{24}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.2.1

Multiply each element of $R_{2}$ by $\frac{1}{24}$ to make the entry at $2, 2$ a $1$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & 1 & 30 \\ \frac{0}{24} & \frac{24}{24} & \frac{- 6}{24} & \frac{- 132}{24} \end{array}]$

Langkah 2.2.2

Sederhanakan $R_{2}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & - 5 & 1 & 30 \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{11}{2} \end{array}]$

Langkah 2.3

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 5 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

Ketuk untuk lebih banyak langkah...

Langkah 2.3.1

Perform the row operation $R_{1} = R_{1} + 5 R_{2}$ to make the entry at $1, 2$ a $0$ .

$[\begin{array}{c} 1 + 5 \cdot 0 & - 5 + 5 \cdot 1 & 1 + 5 (- \frac{1}{4}) & 30 + 5 (- \frac{11}{2}) \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{11}{2} \end{array}]$

Langkah 2.3.2

Sederhanakan $R_{1}$ .

$[\begin{array}{c} 1 & 0 & - \frac{1}{4} & \frac{5}{2} \\ 0 & 1 & - \frac{1}{4} & - \frac{11}{2} \end{array}]$

Langkah 3

Gunakan matriks hasil untuk menyatakan penyelesaian akhir untuk sistem persamaan tersebut.

$x - \frac{z}{4} = \frac{5}{2}$

$y - \frac{z}{4} = - \frac{11}{2}$

Langkah 4

Tambahkan $\frac{z}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$x = \frac{5}{2} + \frac{z}{4}$

$y - \frac{z}{4} = - \frac{11}{2}$

Langkah 5

Tambahkan $\frac{z}{4}$ ke kedua sisi persamaan.

$y = - \frac{11}{2} + \frac{z}{4}$

$x = \frac{5}{2} + \frac{z}{4}$

Langkah 6

Penyelesaiannya adalah himpunan pasangan terurut yang membuat sistem tersebut benar.

$(\frac{5}{2} + \frac{z}{4}, - \frac{11}{2} + \frac{z}{4}, z)$

Langkah 7

Menguraikan vektor penyelesaian dengan menata ulang setiap persamaan yang diwakilkan dalam bentuk pengurangan-baris dari matriks imbuhan dengan menyelesaikan variabel terikat di setiap baris sehingga menghasilkan persamaan vektor.

$X = [\begin{array}{c} x \\ y \\ z \end{array}] = [\begin{array}{c} \frac{5}{2} + \frac{z}{4} \\ - \frac{11}{2} + \frac{z}{4} \\ z \end{array}]$